Question

（本小题满分13分）

已知数列满足：，

（I） 求得值；

（II）     设求证：数列是等比数列，并求出其通项公式；

（III）    对任意的，在数列中是否存在连续的项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列；若不存在，说明理由。

Answer

（Ⅰ）因为 ，所以，，

,                      …………3分

（Ⅱ）由题意，对于任意的正整数，，

所以                                          …………4分

又 

所以                                           …………6分

    又                                  …………7分

     所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以     …………8分

（III）存在. 事实上，对任意的，在数列中，

这连续的项就构成一个等差数列     ……10分

我们先来证明：

“对任意的，，有”

由（II）得，所以 .

     当为奇数时，

当为偶数时，

记

因此要证，只需证明，

其中

(这是因为若，则当时，则一定是奇数，

有

=；

     当时，则一定是偶数，有

               = )

如此递推，要证， 只要证明，

其中，

如此递推下去， 我们只需证明，

即，即，由（I）可得，

所以对，，有，

对任意的 ，

，，其中，

所以

又，，所以

所以这连续的项，

是首项为，公差为的等差数列 .       …………13分

说明：当（其中）时，

因为构成一个项数为的等差数列，所以从这个数列中任取连续的项，也是一个项数为，公差为的等差数列.

【解析】略