Question

（本小题满分13分）

给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆Ｃ的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到Ｆ的距离为.

（I）求椭圆Ｃ的方程和其“准圆”方程；

(II )点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点M，N .

（1）当P为“准圆”与轴正半轴的交点时，求的方程；

（2）求证：|MN|为定值.

Answer

（1）（2）略

【解析】（I）因为，所以                         ……………2分

所以椭圆的方程为，

准圆的方程为  .                                    ……………4分

（II）（1）因为准圆与轴正半轴的交点为P（0，2）,    ……………5分

设过点P（0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为,            

所以，消去y ，得到 ,       ……………6分

因为椭圆与只有一个公共点,

所以 ,                                 ……………7分

解得.                                                      ……………8分

所以方程为.                                ……………9分

（2）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，

因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，

当方程为时，此时与准圆交于点，

此时经过点(或)且与椭圆只有一个公共点的直线是

(或)，即为(或)，显然直线垂直；

同理可证 方程为时，直线垂直.                   ……………10分

② 当都有斜率时，设点，其中，

设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为,

则，消去得到，

即,

，

经过化简得到:,

因为，所以有,

设的斜率分别为,因为与椭圆都只有一个公共点，

所以满足上述方程,

所以，即垂直.                                   ……………12分

综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点M，N，且垂直，

所以线段MN为准圆的直径，所以|ＭＮ|＝４.        ……………13分