Question

（本小题满分13分）

        如图，已知四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，侧棱BB₁⊥底面ABCD，E是侧棱CC₁的中点。

   （I）求证：AC⊥平面BDD₁B₁；

   （II）求证：AC//平面B₁DE。

Answer

【解析】证明：（I）因为ABCD为菱形，所以

因为BB1⊥底面ABCD，

所以BB1⊥AC。                                      …………3分

所以AC⊥平面BDD1B1。                        …………5分

   （II）设AC，BD交于点O，取B1D的中点F，连结OF，EF，

则OF//BB1，且

又E是侧棱CC1的中点，

所以OF//CC1，且OF=，                                    ………………7分

所以四边形OCEF为平行四边形，OC//EF，                 ………………9分

又AC平面B1DE，EF平面B1DE，                        ………………11分

所以AC//平面B1DE。 ………………13分