Question

（本小题满分13分）

        如图，已知四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2。

   （I）求证：C₁D//平面ABB₁A₁；

   （II）求直线BD₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值；

   （Ⅲ）求二面角D—A₁C₁—A的余弦值。

Answer

（1）略（2）（3）

【解析】（I）证明：四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，BB1//CC1，

又面ABB1A1，所以CC1//平面ABB1A1，                    …………2分

ABCD是正方形，所以CD//AB，

又CD面ABB1A1，所以CD//平面ABB1A1，                        …………3分

所以平面CDD1C1//平面ABB1A1，

所以C1D//平面ABB1A1                                                           …………4分

   （II）【解析】
ABCD是正方形，AD⊥CD

因为A1D⊥平面ABCD，

所以A1D⊥AD，A1D⊥CD，

如图，以D为原点建立空间直角坐标系D—xyz，                   …………5分

在中，由已知可得

所以，

             …………6分

因为A1D⊥平面ABCD，

所以A1D⊥平面A1B1C1D1

A1D⊥B1D1。

又B1D1⊥A1C1，

所以B1D1⊥平面A1C1D，                                                       …………7分

所以平面A1­C1D的一个法向量为n=（1，1，0）                     …………8分

设与n所成的角为，

则                                   …………9分

所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为                  …………10分

   （III）【解析】
平面A1C1A的法向量为

则

所以

令可得                                                 …………12分

设二面角D—A1C1—A的大小为a，

则

所以二面角的余弦值为   …………13分