Question

（本小题满分14分）

        在数列和中，已知，其中且。

   （I）若，求数列的前n项和；

   （II）证明：当时，数列中的任意三项都不能构成等比数列；

   （III）设集合，试问在区间[1，a]上是否存在实数b使得，若存在，求出b的一切可能的取值及相应的集合C；若不存在，说明理由。

Answer

（1）（2）略（3）b=1

【解析】（I）因为           …………1分

由

所以                                            …………3分

因为                                  …………4分

所以是等差数列，                              …………4分

所以数列…………5分

   （II）由已知

假设成等比数列，其中，且彼此不等，

则                          …………6分

可得矛盾。                                           …………7分

为无理数，

所以是整数矛盾。   …………9分

所以数列中的任意三项都不能构成等比数列。

   （III）设存在实数，

所以整除。                                           …………10分

   （1）当

所以                                                   …………11分

   （2）当，

所以，当且仅当整除。            …………12分

   （3）当时 ，

整除。                                                 …………13分

综上，在区间[1，a]上存在实数b，使成立，且当b=1时，

       …………14分