Question

（本小题满分14分）

设函数（）．

（1）当时，求的最小值；

（2）若，将的最小值记为，求的表达式；

（3）当时，关于的方程有且仅有一个实根，求实数的取值范围．

Answer

（1）由已知有：

，……………………………2分

∵

∴

∴当时，………………………………………………4分

（2）由于，∴ ，

∴ 当 时，则时，；

当 时，则时，；

当 时，则当时，；

综上， .                 ……………………………8分

（3）当 时，，

方程 即，

即方程在区间有且仅有一个实根，……………………………9分

令 ，则有：

解法一、①若

∴ ………………………………………………………………10分

②    或  

综上所述，当时，方程在区间有且仅有一个实根．……14分

解法二、由零点存在定理得

①， ，

∴； …………………………………………………………………10分

②当时，

，此时，符合题意；

③当时， ，此时，符合题意；

综上，当时，方程在区间有且仅有一个实根．……14分

【解析】略