Question

（14分）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为．

（I）求与的值；

（II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．

Answer

（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义

点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得        （2分）

抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得             （4分）

（Ⅱ）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为

则，当   则           （5分）

联立方程，整理得：

即：，解得或                           （6分）

，而，直线斜率为 

，                                     （7分）

联立方程

整理得：，即：．

，解得：，或

，                                 （9分）

                    （10分）

而抛物线在点N处切线斜率：         （11分）

MN是抛物线的切线，，

整理得                                           （12分）

，解得（舍去），或，     （14分）

【解析】略