Question

（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，，是棱上的动点，是中点 ，，．

   （Ⅰ）求证：平面；

   （Ⅱ）若二面角的大小是，求的长．

Answer

（Ⅰ）证明见解析

（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）证明：∵三棱柱是直棱柱，

       ∴平面．

       又∵平面，∴ ．

       ∵，，是中点，

       ∴．

       又∵∩， ∴平面．

   （Ⅱ）【解析】
以为坐标原点，射线为轴正半轴，

       建立如图所示的空间直角坐标系，

       则,,．

       设，平面的法向量，

       则,．

       且，．

       于是

       所以取，则

       ∵ 三棱柱是直棱柱，

       ∴ 平面．又∵ 平面，

       ∴  ．∵ ，

       ∴ ．∵ ∩，

       ∴ 平面．

       ∴ 是平面的法向量，．

       ∵二面角的大小是，

       ∴．

       解得．∴．