Question

（本小题满分12分）

       已知函数f （x）＝alnx＋x²  （a为实常数）．

   （Ⅰ）若a＝－2，求证：函数f （x）在（1，＋∞）上是增函数；

   （Ⅱ）求函数f （x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；

   （Ⅲ）若当x∈[1，e]时，f （x）≤（a＋2）x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（１）略；（２）ｅ；（３）

【解析】（1）当时，，

       当，，

  故函数在上是增函数．            …………2分

   （2），

       当，．

       若，在上非负（仅当，x=1时，），

       故函数在上是增函数，

       此时．                          …………4分

       若，当时，；

       当时，，

       此时是减函数；

       当时，，

       此时是增函数．

       故

       ．           …………6分

       若，在上非正（仅当，x=e时，），

       故函数在上是减函数，

       此时．                  …………7分

       综上可知，当时，的最小值为1，相应的x值为1；

       当时，的最小值为，

       相应的x值为；

       当时，的最小值为，相应的x值为．      …………8分

   （3）不等式，                 

       可化为．

       ∵， ∴且等号不能同时取，

       所以，即，

       因而（）                                    …………9分

       令（），

       又，      …………10分

       当时，，，

       从而（仅当x=1时取等号），

       所以在上为增函数，   …………11分

       故的最大值为，

       所以a的取值范围是． ……12分