（本小题满分12分）四面体ABCD中，对棱AD⊥BC，对棱AB⊥CD，试证明：...

（本小题满分12分）

四面体ABCD中，对棱AD⊥BC，对棱AB⊥CD，试证明：AC⊥BD.

略【解析】证法1：作AO⊥平面BCD于O，则BO、CO、DO分别为AB、AC、AD在平面BCD内的射影. ∵CD⊥AB,CD平面BCD ∴CD⊥BO（三垂线定理的逆定理）同理BC⊥DO ∴O为△BCD的垂心从而BD⊥CO ∴BD⊥AC（三垂线定理），即AC⊥BD 证法2：作出向量、、、、、. ∵⊥，⊥ ∴·=0，·=0 又=+，=+ ∴·=·+·++· =·+ (++) =·+·=0 ∴⊥ ∴AC⊥BD

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考点分析：

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