Question

（本小题满分12分）

直三棱柱ABO-A₁B₁O₁中，∠AOB=90°，D为AB的中点，AO=BO=BB₁=2.

①求证：BO₁⊥AB₁；

②求证：BO₁∥平面OA₁D；

③求三棱锥B—A₁OD的体积。

                            

Answer

①略

②略

③V=

【解析】证法1：①连结OB，    ∵OO⊥平面AOB,∴OO⊥AO

即AO⊥OO，又AO⊥OB 

∴AO⊥平面OOBB

∴O B为A B在平面OOBB内的射影

又OB=B B  ∴四边形OOBB为正方形

∴B O⊥OB

∴B O⊥A B（三垂线定理）分

②连结A O交OA于E，再连结DE.

∵四边形AAOO为矩形 ,∴E为A O的中点.

又D为AB的中点，∴BO∥D……………6分

又DE平面OAD，BO平面OAD

∴BO∥平面OAD

③∵V= V，

又∵AA1⊥平面ABO，∴V=·S·AA。

又S=·S=1，A1A=2，

∴V=。

证法2：以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则:

O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),A(2,0,2),

B(0,2,2), O(0,0,2), D(1,1,2).

①∵=(-2,2,-2),=(0,-2,-2)

∴·=(-2) ·0+2·(-2)+(-2) ·(-2)=0

∴⊥    ∴B O⊥A B

②取OA的中点为E，则E点的坐标是(1,0,1)，∴=(0,-1,-1),        又=(0,-2,-2)

∴=2   又BO、DE不共线，    ∴BO∥DE

又DE平面OAD，BO平面OAD    ∴BO∥平面OAD③与证法1相同