Question

(本小题满分14分)

已知函数f(x)=log2.

（1）判断并证明f(x)的奇偶性;

（2）若关于x的方程f(x)=log2(x-k)有实根，求实数k的取值范围;

（3）问：方程f(x)=x+1是否有实根？如果有，设为x0，请求出一个长度

为的区间(a,b)，使x0∈(a,b)；如果没有，请说明理由.

（注：区间(a,b)的长度为b-a）

Answer

（1）f(x)是奇函数

（2）(-∞,1)。

（3）区间(-,-)的中点g(-)>0(4')

【解析】【解析】
（1）由得-11->0。                                    ②     (12')

由①②可知，g(-)·g(-)<0，所以函数g(x)在区间(-,-)内有零点x0。

即方程f(x)=x+1在(-,-)内有实根x0。                                  (13')

又该区间长度为，因此，所求的一个区间可以是(-,-)。(答案不唯一)      (14')

思路提示：用“二分法”逐步探求，先算区间(-1,1)的中点g(0)=-1<0(1')，由于g(x)在(-1,1)内单调递减，于是再算区间(-1,0)的中点g(-)=log23->0(2')，然后算区间(-,0)的中点 g(-)<0(3')，最后算区间(-,-)的中点g(-)>0(4')。