Question

（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知三点A（-1，0），B（1，0），，以A、B为焦点的椭圆经过点C。

   （I）求椭圆的方程；

   （II）设点D（0，1），是否存在不平行于x轴的直线与椭圆交于不同两点M、N，使

        ？若存在，求出直线斜率的取值范围；若不存在，请说明理由：

   （III）对于y轴上的点P（0，n），存在不平行于x轴的直线与椭圆交于不同两点M、N，使，试求实数n的取值范围。

Answer

（1）（2）不存在（3）

【解析】（I）设椭圆方程为，

据知，

∴所求椭圆方程为                                              …………4分

   （II）

∴若存在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在，

否则与点D（0，1）不在x轴上矛盾。

∴可设直线

由得

由  …………6分

设，

MN的中点为

则

又

解得：                                                              …………8分

（将点的坐标代入亦可得到此结果）

由得，

这是不可能的。

故满足条件的直线不存在。                                                    …………9分

   （III）据（II）有

可推出要使k存在，只需

的取值范围是           …………12分