Question

(本题满分12分)如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成的角；

（Ⅲ）求点到平面的距离.

Answer

（Ⅰ）证明见解析

（Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】

解法一：（Ⅰ）设与交点为，延长交的延长线于点，

则，∴，∴，∴，

又∵，∴，

又∵，∴，

∴，∴

又∵底面，∴，∴平面，

∵平面，∴平面平面（4分）

（Ⅱ）连结，过点作于点，

则由（Ⅰ）知平面平面，

且是交线，根据面面垂直的性质，

得平面，从而即

为直线与平面所成的角.

在中，，

在中，

. 所以有，

即直线与平面所成的角为（8分）

（Ⅲ）由于，所以可知点到平面的距离等于点到平面的距离的，即. 在中，，

从而点到平面的距离等于（12分）

解法二：如图所示，以点为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则相关点的坐标为

，，，.

（Ⅰ）由于，，

，

所以，

，

所以，

而，所以平面，∵平面，

∴平面平面（4分）

（Ⅱ）设是平面的一个法向量，则，

   由于，，所以有

，

令，则，即，

再设直线与平面所成的角为，而，

所以，

∴，因此直线与平面所成的角为（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，而，

所以点到平面的距离为（12分）