Question

如图，平面，四边形是正方形，，、分别是、的中点．

    （1）求二面角的大小；

（2）求证：平面平面；

（3）求点到平面的距离。

Answer

略

【解析】解法一：（1）∵⊥平面，

∴ 是在平面上的射影．

由是正方形知，

∴ 。

∴ 是二面角的平面角．

∵ ，∴ =45º，

即二面角的大小为45º。………3分

（2）如图，建立空间直角坐标系至，则

，，，

，∵是的中点，∴ ，

∴ ，，。

设平面的一个法向量为，

平面的一个法向量为。

∴ ，，即有 

令=1，得x1=-2，y1=-1．

∴ 。

同理由，，即有

令z2=1，得x2=0，y2=1，∴ 。

∵ -2×0+(-1)×1+1×1=0，

∴ ，

∴ 平面MND⊥平面PCD．……………………………………………………………6分

（3）设到平面的距离为由（2）知平面的法向量

∵ ，

∴ | |=4，又 ||=，

∴ =

即点P到平面MND的距离为．………………………………………………10分

解法二：（1）同解法一．

（2）作的中点，连接，如图．

∵ 平行且等于，平行且等于，

∴ 与平行且相等，于是四边形是平行四边形，∴ //。

∵ ，∴ 。∵ 面，∴ 。又∵ ，

∴ ⊥面。∴ 。∴ ⊥面。∴ ⊥面。

又∵面，∴ 平面⊥平面。……………………6分

（3）设到平面的距离为，

由，有，

即，

∴ 。

∵ 在中，．

又，，∴，

即到平面的距离为。…………………………………………………10分