Question

如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，、分别是、的中点。

（1）证明：；

（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求锐二面角的余弦值；

（3）在（2）的条件下，设，求点到平面的距离。

Answer

略

【解析】（1）证明：由四边形为菱形，，知为正三角形

∵为的中点 ∴，又 ∴…………………………1分

∵平面，平面 ∴

而平面，平面,且,

∴平面，又平面，∴…………………………3分

（2）设，连结         

由（1）知平面,而,∴，

则为与平面所成的角。……………………………………………… 4分

在中，，当最小时，即当时，最大，此时

因此，

又  ∴ ∴………………………………………………… 5分

方法一：平面，平面，  ∴平面平面

过作于，则平面，过作于，连结，则为二面角的平面角。…………………………………………………… 6分

在中，

又为的中点，∴在中，,

又

在中，         

即所求二面角的余弦值为……………………………………………………………7分

方法二：由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则：

∴………………………………………………………7分

设平面的一个法向量为，

则，因此

取，则…………………………………………………………… 8分

∵，平面

故为平面的法向量。……………………………………………………6分

∴         

二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为………………………………………… 7分

（3）方法一：由（2）得：在中，，∴

在中，，∴中，，

又,∴……………………………………………………………… 8分

又，点到平面的距离，………………… 9分

设点到平面的距离为，

∵，∴，

∴………………………………………………………………10分

方法二：由（2）解法2知，平面的一个法向量为……………………8分

又∵         

∴点到平面的距离为…………………………………10分

其余方法请酌情给分！！