Question

如图，在三棱锥中底面

点，分别在棱上，且 

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；

（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.

                   

Answer

（Ⅰ）略

（Ⅱ）与平面所成的角的大小

（Ⅲ）存在点E使得二面角是直二面角.

【解析】【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．

（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.

又，∴AC⊥BC.

∴BC⊥平面PAC.        ……………4分

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，

∴，

又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，……………6分

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，

∴△ABP为等腰直角三角形，∴，

∴在Rt△ABC中，，∴.

∴在Rt△ADE中，，

∴与平面所成的角的大小         ……………8分.

（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，

∴∠AEP为二面角的平面角，         ……………10分

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.

∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，

故存在点E使得二面角是直二面角.     ……………12分

【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，

        设，由已知可得

       .……………2分

       （Ⅰ）∵，

∴，∴BC⊥AP.

又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.      ……………4分

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，

∴，

∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，                ……………6分

∵，∴.

∴与平面所成的角的大小……………8分

（Ⅲ）解法同一 （略）