Question

（本题满分10分） 设和分别是从1，2，3，4这四个数中随机选取的数，用随机变量X表示方程的实根的个数（重根按一个计）。

（1）求方程有实根的概率；（2）求随机变量X的分布列和数学期望；

（3）若中至少有一个为3，求方程有实根的概率。

Answer

（1）

（2）的数学期望

（3），从而

【解析】【解析】
（1）由题意知：设所有基本事件的集合为Ω，记“方程没有实根”为事件，“方程有且只有一个实根”为事件B,“方程有两个相异实根”为事件，则

，

，

，

。

所以Ω中的基本事件总数为16个，中的基本事件总数为9个，中的基本事件总数为2个，中的基本事件总数为5个。

又因为是互斥事件，故所求概率。

（2）由题意，的可能值为0，1，2，则

。

故的分布列为

0

1

2

的数学期望。

（3）记“中至少有一个是3”为事件，“方程有实根”为事件，则易知，从而