Question

（本题满分10分）设，是否存在整式，使得

对n≥2的一切自然数都成立?并试用数学

归纳法证明你的结论.

Answer

略

【解析】【解析】
假设存在整式，使得对n≥2的一切自然数都成立,则

当n=2时有,又∵,∴;

  当n=3时有,又∵,

∴;……, 猜想：g(n)=n(n≥2),

下面用数学归纳法加以证明：

(1) 当n=2时，已经得到证明.

(2) 假设当n=k(k≥2，k∈N)时，结论成立,即

存在g(k)=k，使得对k≥2的一切自然数都成立成立.则当n=k+1时，

,

又∵∴,

∴,

∴当n=k+1时，命题成立.

由(1)(2)知,对一切n(n≥2,n∈N*)有=n，使得

都成立.