Question

(本小题满分12分)      已知函数f (x) = ax² + 2ln(1-x)，其中a∈R.

（1）是否存在实数a，使得f (x)在x =处取极值？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由；

（2）若f (x)在[-1,]上是减函数，求实数a的取值范围.

Answer

（1）f (x)定义域为{x | x<1}，f ′(x) = 2ax   

假设存在实数a，使f (x)在x =处取极值，则

f ′() = a – 4 = 0， ∴a = 4           ------------------ 3分

此时，f ′(x) = 8x = 

当x <时，f ′(x) < 0；当0成立；

②当a>0时，g (x)在上递减，则

g (x)min = g () = 1≥0   ∴0a≥ 

综上，≤a≤4为所求                -------------------- 12分

【命题分析】本题主要考查运用导数研究函数性质的方法，分类讨论的数学思想和分析推理能力.

【解析】略