Question

如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA＝AD＝a．

   （1）求证：MN∥平面PAD；

   （2）求证：平面PMC⊥平面PCD

Answer

（1）证明略

（2）证明略

【解析】证明：如答图所示，⑴设PD的中点为E，连结AE、NE，

由N为PD的中点知ENDC，

又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB

又M是AB的中点，∴ENAN，

∴AMNE是平行四边形

∴MN∥AE，而AE平面PAD，NM平面PAD

∴MN∥平面PAD

证明：⑵∵PA＝AD，∴AE⊥PD，

又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥AE， ∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD，

∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，

又MN平面PMC，

∴平面PMC⊥平面PCD.