Question

已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

 

（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？ (14分)

Answer

（Ⅰ）略

（Ⅱ）

【解析】证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，

    ∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC.                        

    又

    ∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,

    ∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.                          

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，

∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.                                     

∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，

∴                               

由AB2=AE·AC 得     

故当时，平面BEF⊥平面ACD.