Question

（本小题满分12分）某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2010年世博会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2010年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为：其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完。

   （1）将2010年利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；

   （2）该企业2010年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

（注：利润=销售收入—生产成本—促销费，生产成本=固定费用+生产费用）

Answer

（1）y=（2）

【解析】（1）由题意：……………………………………………1分

将代入得：…………………………………………………2分

…………………………………………3分

当年生产（万件）时

年生产成本=年生产费用+固定费用=

当销售（万件）时，年销售收入=〔〕+=+

由题意，生产万件化妆品正好销完，

∵年利润=年销售收入—年生产成本—促销费

+——

=…………………………………………6分

   （2）方法一：

…………………………………………9分

当时，，当时.

则在上单调递增，在上单调递减. …………………………11分

故当时，取最大值.

所以当促销费定在7万元时，企业的年利润最大.………………………………12分

方法二：

………………………………10分

当且仅当时取等号.即t=7时，取最大值. ……………………………11分

所以当促销费定在7万元时，企业的年利润最大. ………………………………12分