Question

（本小题满分14分）

已知圆C经过点 ，圆心落在  轴上（圆心与坐标原点不重合），且与直线  相切．

（Ⅰ）求圆 C 的标准方程；

（Ⅱ）求直线Y=X 被圆C所截得 的弦长；

（Ⅲ）l₂是与l₁垂直并且在Y轴上的截距为b的直线，若）l₂与圆 C 有两个不同的交点，求b的取值范围．

Answer

（Ⅰ）设圆   的圆心坐标为 ，半径为 ，则由题意得

  解得  或 （舍去），．

∴ 圆  的标准方程为 ．                             5分

（Ⅱ）取所截弦的中点，并和圆心相连结，则该线段就是圆心到弦所在直线的距离（弦心距）．再连结圆心和弦的一个端点（所连线段即为一条半径），易知由弦心距、半径和弦的一半可构成一个直角三角形．

∵ 由点到直线的距离公式可求得弦心距为 ，

∴ 由勾股定理可求得弦的一半的长度为 ．

∴ 所求的弦长为 ．                                                 9分

（Ⅲ）易知直线  的方程为 ．                                10分

∵ 直线  与圆  有两个不同的交点， ∴ 圆心到  的距离小于半径 ．

∴ ． 整理得 ．                   12分

解得  的取值范围为 ．                           14分

【解析】略