Question

椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为．

     （I）求椭圆的方程；

     （II）设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率．

Answer

（I）

（II）k的值为和

【解析】

【解析】
（I）由已知 又，解得

所以椭圆C的方程为  ………………………………4分

   （II）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设

联立，，消去y得，

，令，解得   

设E、F两点的坐标分别为，

   （i）当∠EOF为直角时，

则，

因为∠EOF为直角，所以，即，

所以，

所以，解得

   （ii）当∠OEF或∠OFE为直角时，不妨设∠OEF为直角，

此时，，所以，即……①

又…………②

将①代入②，消去x1得

解得或（舍去），

将代入①，得  所以，

经检验，所求k值均符合题意，综上，k的值为和