Question

（本小题满分14分）

如图，正四棱柱中，,点在上且.

(1) 证明：平面;

(2) 求二面角的余弦值.

Answer

解法一：

依题设知，．

（Ⅰ）连结交于点，则．由三垂线定理知，．…………2分

在平面内，连结交于点，

由于，故，，与互余．

于是．…………5分

与平面内两条相交直线都垂直，所以平面．…………6分

（Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，

故是二面角的平面角．…………8分

，，．

，．

又，．

． …………12分

 ∴ …………13分

所以二面角的余弦值为．  …………14分．

解法二：

以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系．

依题设，．………2分

，．   ………4分

（Ⅰ）因为，，故，．

又，所以平面．   ………7分

（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则

，．故，．………10分

令，则，，．………11分

等于二面角的平面角，

．………13分

所以二面角的余弦值为．  …………14分