Question

（14分）为了迎接2010年在广州举办的亚运会，我市某体校计划举办一次宣传活动，届时将在运动场的一块空地ABCD（如图）上摆放花坛，已知运动场的园林处（P点）有一批鲜花，今要把这批鲜花沿道路PA或PB送到空地ABCD中去，且PA=200 m，PB=300 m，∠APB=60°.

 

（1）试求A、B两点间的距离；

（2）能否在空地ABCD中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路PA送花较近；而另一侧的点，沿道路PB送花较近？如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程.

Answer

（1）米

（2）－=1(x≥50，y≥0)

【解析】【解析】
（1）. 

   所以，A、B两点间的距离为米.                  （4分）

（2）设M是这种界线上的点，则必有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，

即|MA|－|MB|=|PB|－|PA|=100.                             （6分）

∴这种界线是以A、B为焦点的双曲线靠近B点的一支.   （7分）

建立以AB为x轴，AB中点O为原点的直角坐标系，

则曲线为－=1， 其中a=50，c=|AB|.           （9分）

∴c=50，b2=c2－a2=15000.                   （11分）

∴所求曲线方程为－=1(x≥50，y≥0).         （14分）