Question

(本小题满分14分)

已知函数 (＞0)的图象在点处的切线方程为.

(Ⅰ)用表示；

(Ⅱ)若在上恒成立，求的取值范围；

(Ⅲ)证明：1+++…+＞+.

Answer

(Ⅰ)

(Ⅱ) 的取值范围为

(Ⅲ) 1+++…+＞+

【解析】【解析】
（Ⅰ） ，则有，解得……3分

（II）由（Ⅰ）知，

令，

则，…………4分

(ⅰ)当时,,

   若,则,单调递减，所以即,

故在上不恒成立. …………6分

(ⅱ) 当时,,

若,则,是增函数,所以

即,故当时,. …………8分

综上所述,所求的取值范围为…………9分

(Ⅲ)解法一:

由(Ⅱ)知,当时,有,  ()

令,有

且当时, …………10分

令,有

即, …………12分

将上述个不等式依次相加得

整理得…………14分

解法二: 用数学归纳法证明

(1) 当时,左边,右边, 不等式成立. …………10分

(2) 假设时, 不等式成立, 就是

那么

由(Ⅱ)知,当时,有,  ()

令,有,  ()

令,有

所以

即

这就是说，当时, 不等式也成立。…………13分

根据(1)和(2)，可知不等式对任何都成立。…………14分