Question

（本题满分14分）

已知函数.

(Ⅰ) 讨论的奇偶性；

（Ⅱ）判断在上的单调性并用定义证明.

Answer

(Ⅰ) 当时，为奇函数;当时，不具备奇偶性

（Ⅱ）证明略

【解析】(Ⅰ)函数的定义域为关于原点对称. ……………1分

方法1、，…………………………2分

若，则，无解， ∴不是偶函数; …………………4分

若，则，显然时，为奇函数……………………6分

综上，当时，为奇函数;当时，不具备奇偶性. ………7分

方法2、函数的定义域为关于原点对称. ……………1分

当时，，，∴，

 ∴为奇函数; ………………………………………………4分

当时，，，显然

∴不具备奇偶性. …………………………………………7分

（Ⅱ）函数在上单调递增; ………………………8分

 证明:任取且，则

 ……………11分

 ∵且， ∴，，

从而， 故，…………………………13分

 ∴在上单调递增. ………………………………14分