Question

（本题满分14分）

已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立．

（Ⅰ）函数是否属于集合? 说明理由；

（Ⅱ）若函数属于集合，试求实数和满足的约束条件；

（Ⅲ）设函数属于集合，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ），

（Ⅲ）实数的取值范围是

【解析】（Ⅰ），若，则存在非零实数，使得

   ，即   ………………………2分

    此方程无实数解，所以函数  ………………………3分

（Ⅱ），由，存在实数，使得

    ，解得 ……………………5分

    所以，实数和的取得范围是，  ………………………6分

（Ⅲ）依题意，.

由得，存在实数，，

即………………………………………9分

又＞，化简得

    当时，，符合题意.…………………………11分

    当且时，由△得，化简得

，解得． …………………13分

    综上，实数的取值范围是．………………14分