Question

（本题满分14分）设,函数．

（Ⅰ）证明:存在唯一实数，使；

（Ⅱ）定义数列:,,．

（i）求证:对任意正整数n都有；

(ii) 当时, 若，

证明:当k时，对任意都有:

Answer

（Ⅰ）证明：略

【解析】（Ⅰ）证明: ①.       ………1分

令,则,,

∴.                               ………………………………… 2分

又,∴是R上的增函数.    …………………… 3分

故在区间上有唯一零点,

即存在唯一实数使.           ………………………………… 4分

②当时, ,,由①知,即成立；…… 5分

设当时, ,注意到在上是减函数,且,

故有:,即

∴,                    ………………………………… 7分

即.这就是说,时,结论也成立.

故对任意正整数都有:.            ………………………………… 8分

(2)当时,由得:,     ……………… 9分

………10分

当时,,

∴

    ………………………………… 12分

对,

    ………………………………… 13分

    ………………… 14分