Question

（本小题满分14分）

已知圆方程为：.

（Ⅰ）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程；

（Ⅱ）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.

Answer

（Ⅰ）直线为或

（Ⅱ）点的轨迹方程是，轨迹是一个焦点在轴上的椭圆，除去短轴端点。

【解析】（Ⅰ）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，

其距离为   满足题意   ………1分

②若直线不垂直于轴，设其方程为，即     

设圆心到此直线的距离为，则，得  …………3分       

∴，，              故所求直线方程为                               

综上所述，所求直线为或   …………7分                  

（Ⅱ）设点的坐标为（），点坐标为，则点坐标是 ………9分

∵，  ∴  即，………11分          

又∵，∴   ∴点的轨迹方程是， …………13分     

轨迹是一个焦点在轴上的椭圆，除去短轴端点。    …………14分