Question

（本小题满分14分）如图，三棱锥A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。

（Ⅰ）求证：DM//平面APC；

（Ⅱ）求证：BC⊥平面APC；

（Ⅲ）若BC=4，AB=20，求三棱锥D—BCM的体积.

Answer

（Ⅰ）略

（Ⅱ）略

（Ⅲ）VD-BCM=VM-BCD=

【解析】【解析】
（Ⅰ）∵M为AB中点，D为PB中点，

∴MD//AP，   又∴MD平面ABC

∴DM//平面APC ……………3分

（Ⅱ）∵△PMB为正三角形，且D为PB中点。

∴MD⊥PB

又由（Ⅰ）∴知MD//AP，  ∴AP⊥PB

又已知AP⊥PC   ∴AP⊥平面PBC，

∴AP⊥BC，   又∵AC⊥BC

∴BC⊥平面APC，      ……………8分

（Ⅲ）∵AB=20

∴MB=10    ∴PB=10

又BC=4，

∴

又MD

∴VD-BCM=VM-BCD=………………12分