Question

（本小题满分14分）

     如图，已知正三棱柱的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为．

  （1）求此正三棱柱的侧棱长；

  （2）求二面角的正切值；

  （3）求点到平面的距离．

Answer

（1）（2）3（3）

【解析】

（1）设正三棱柱的侧棱长为. 取中点，连结.

∵△是正三角形，∴.                        ．．．．．．．．．．．2分

又底面侧面,且交线为,

∴侧面. 连结，

则直线与侧面所成的角为

在中，，解得. …………………4分

（2）过作于，连结，∵侧面，∴.

∴为二面角的平面角.在中，

．．．．．．．．．．6分

又，∴,又．．．．．．．．．．8分

∴在中，.

故二面角的正切值为3.                         ……………9分

（3） 由（2）可知，平面，∴平面平面，且交线为，

∴过作于，则平面.

在中， …………………12分

∵为中点，∴点到平面的距离为. …………………14分

（注：（2）、（3）也可用向量法求解，（3）还可以用等体积法）