Question

（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F．

(I) 证明： PA∥平面EDB；

(II) 证明：PB⊥平面EFD；

(III) 求三棱锥的体积．

Answer

【解析】【解析】
（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO

  ∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点

  在中，EO是中位线，∴PA // EO

  而平面EDB且平面EDB，

  所以，PA // 平面EDB．                               ．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴

∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，

∴    ①

同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC

而平面PDC，∴    ②

由①和②推得平面PBC

而平面PBC，∴

又且，所以PB⊥平面EFD

                ．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

（3）∵，

由PD⊥平面ABCD，∴ PD⊥BC，

又∵ BC⊥CD，PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD，

∴ BC⊥PC．

在△BDE中，，

∴    ，即DE⊥BE．

而由（2），PB⊥平面EFD，有PB⊥DE，因而DE⊥平面BEF，

在Rt△BPD中，，；Rt△BEF中，．

∴．    ．．．．．．．．14分