Question

（本小题满分14分）已知函数，设曲线y＝f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与x轴的交点为（x_n+1,0）（n Î N *），x₁＝4．

（Ⅰ）用表示x_n+1；

（Ⅱ）记a_n=lg，证明数列｛a_n｝成等比数列，并求数列｛x_n｝的通项公式；

（Ⅲ）若b_n＝x_n－2，试比较与的大小．

Answer

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【解析】

【解析】
（Ⅰ）由题可得                     ．．．．．．．．．．．．．．．．2分

所以曲线在点处的切线方程是：．

即．                          ．．．．．．．．．．．．．．．4分

令，得，即．

显然，∴．                   ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（Ⅱ）由，知，同理．

故．

从而，即．所以，数列成等比数列．  ．．．8分

故，即，从而，

所以．                                 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

∴ ；                                  ．．．．．．．．．．．12分

∴，              

故< ．                                               ．．．．．．．．．．．．14分