Question

（本小题满分14分）

已知函数F(x)=|2x－t|－x³+x+1（x∈R，t为常数，t∈R）.

(Ⅰ)写出此函数F(x)在R上的单调区间；

(Ⅱ)若方程F(x)－k=0恰有两解，求实数k的值．

Answer

i) 当<－1时，F(x)在区间(－∞，－1)上是减函数，

在区间(－1，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数．

ii) 当1>≥－1时，F(x)在区间(－∞，)上是减函数，

在区间(，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数．

iii) 当≥1时，F(x)在(－∞，+∞)上是减函数． i) 当<－1时，F(x)在x=－1处取得极小值－1－t，

在x=1处取得极大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有两解，

此时m=－1－t或m=3－t．

ii) 当－1≤<1，F(x)在x=处取值为，

在x=1处取得极大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有两解，

此时m=或m=3－t．

iii) 当≥1时，不存在这样的实数m，使得F(x)－m=0恰有两解

【解析】(Ⅰ)

∴ .……………..4分

由－3x2+3=0 得x1=－1，x2=1，而－3x2－1<0恒成立，

∴ i) 当<－1时，F(x)在区间(－∞，－1)上是减函数，

在区间(－1，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数．

ii) 当1>≥－1时，F(x)在区间(－∞，)上是减函数，

在区间(，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数．

iii) 当≥1时，F(x)在(－∞，+∞)上是减函数． .……………..8分             

       (II)由1）可知

i) 当<－1时，F(x)在x=－1处取得极小值－1－t，

在x=1处取得极大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有两解，

此时m=－1－t或m=3－t．

ii) 当－1≤<1，F(x)在x=处取值为，

在x=1处取得极大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有两解，

此时m=或m=3－t．

iii) 当≥1时，不存在这样的实数m，使得F(x)－m=0恰有两解．.……………..14