Question

(本小题满分12分) 已知函数（m为常数，且m>0）有极大值9．

  （Ⅰ）求m的值；

  （Ⅱ）若斜率为的直线是曲线的切线，求此直线方程．

Answer

m＝2. ，5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0

【解析】【解析】
(Ⅰ) f’(x)＝3x2+2mx－m2=(x+m)(3x－m)=0,则x=－m或x=m．    …………2分

      当x变化时，f’(x)与f(x)的变化情况如下表：

x

(－∞,－m)

－m

(－m,)

(,+∞)

f’(x)

+

0

－

0

+

f (x)

极大值

极小值

从而可知，当x=－m时，函数f(x)取得极大值9，

即f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,                                     …………6分

 ∴ m＝2.                                                    …………7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x3+2x2－4x+1,  依题意知f’(x)＝3x2＋4x－4＝－5，

∴x＝－1或x＝－.                                           …………9分

又f(－1)＝6，f(－)＝，                                   …………10分

所以切线方程为y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，

即所求的直线方程为： 5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0 .       …………12分