Question

(本小题满分14分) 如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面CDAB， ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD90º，BC2，PAAB1．

（1）求证：PD⊥AB；

（2）在线段PB上找一点E，使AE//平面PCD；

（3）求点D到平面PBC的距离．

Answer

h=

【解析】【解析】
（1）∵PA⊥平面CDAB，AB平面ABCD，∴PA⊥AB，   …………2分

又AB⊥AD，PAAD=A，∴AB⊥平面PAD，                    …………3分

∵PD平面PAD，∴AB⊥PD．                                   …………4分

（2）取线段PB的中点E，PC的中点F，连结AE，EF，DF，

EF是△PBC中位线，∴EF∥BC，；                    …………6分

又AD∥BC，，∴四边形EFDA是平行四边形，          …………8分

∴AE∥DF，又AE平面PDC，DF平面PDC，∴AE∥平面PDC，

故线段PB的中点E是符合题意要求的点．                        …………10分

（3）设点D到平面PBC的距离为h．∵BC⊥AB，BC⊥PA，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，

PB=，S△PBC=PB·BC=，S△BDC=BC·AB=1  …………12分

∵VP－BDC=VD－PBC，即S△BDC·PA=S△PBC·h ，∴h=．           …………14分