Question

设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内．

（此题不要求在答题卡上画图）

 

Answer

【解析】（I）依题意得解得  从而b=,………………………………………3分

故椭圆方程为．……………………………………………………………………4分

（II）解法1：由（I）得A（-2，0），B（2，0），设．

点在椭圆上，．………………………………………………………      5分

又点异于顶点

由三点共线可得，…………………………………………………………………6分

从而．……………………………………………………………7分

，………………………………………………10分

将①式代入②式化简得．…………………………………………………………12分

>0,>0.于是为锐角,从而为钝角,

故点在以为直径的圆内.………………………………………………………………………. 14分

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设P（4，）（0），M（，），N（，），则直线AP的方程为，直线BP的方程为．…………………………….. 6分

点M、N分别在直线AP、BP上，

＝（＋2），＝（－2）.从而＝（＋2）（－2）.③

联立消去y得（27＋）＋4x＋4（－27）＝0………………8分

，－2是方程得两根，（－2）．，即＝.  ④

又．=（－2, ）．(－2,)＝（－2）（－2）＋.   ⑤………9分

于是由③、④式代入⑤式化简可得

．＝（－2）…………………………………………………………    12分

N点在椭圆上，且异于顶点A、B，<0.

又，> 0, 从而．<0.

故为钝角，即点B在以MN为直径的圆内………………………………14分

解法3：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（，），N（，），则－2<<2 , －2<<2.又MN的中点Q的坐标为（），………………………………………5分

化简得－＝（－2）（－2）＋.             ⑥………………8分

直线AP的方程为，直线BP的方程为………………10分

点P在准线x＝4上，

，即.                       ⑦

又M点在椭圆上，＋＝1，即          ⑧……… 12分

于是将⑦、⑧式化简可得－＝.

从而B在以MN为直径的圆内…………………………………………………………………       14分