Question

（本小题满分13分）如图，已知三棱柱的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由沿棱柱侧面经过棱到点的最短路线长为,设这条最短路线与的交点为．

（1）求三棱柱的体积；

(2)在面内是否存在过的直线与面平行？证明你的判断；

（3）证明：平面⊥平面．

Answer

平面A1BD内存在过点D的直线与平面ABC平行．

【解析】【解析】
(1)如图，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°，

使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点B运动到

点B2的位置，连接A1B2，则A1B2就是由点B沿

棱柱侧面经过棱CC1到点A1的最短路线．

设棱柱的棱长为，则B2C=AC=AA1＝,

∵CD∥AA1 ， ∴为的中点．                               ………2分

在Rt△A1AB2中，由勾股定理得，

即 ，解得， ∵，

∴．                                   ………5分

(2)设A1B与AB1的交点为O,连结BB2,OD，则．

∵平面，平面，    ∴平面，

即在平面A1BD内存在过点D的直线与平面ABC平行．                ………9分

 (3)连结AD,B1D ∵≌≌≌，

∴，   ∴．

 ∵ ，，  

 ∴平面A1ABB1 ，又∵平面A1BD． 

 ∴平面A1BD⊥平面A1ABB1 ．                                  ………13分