Question

已知点P （4，4），圆C： 与椭圆E：的一个公共点为A（3，1），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线与圆C相切。

（1）求m的值与椭圆E的方程；

（2）设D为直线PF₁与圆C 的切点，在椭圆E上是否存在点Q ，使△PDQ是以PD为底的等腰三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由。

                           

Answer

（1）m=1，椭圆E的方程为

（2）在椭圆上存在两个点Q，使得PDQ是以PD为底的等边三角形

【解析】【解析】
（1）∵点A(3,1)在圆上，∴（3-m）2+1=5 又m<3    ∴m=1 ┉┉2分

设F1(-c,0),∵P(4,4)  直线PF1方程为4x-(4+c)y+4c=0    ---------3分

直线PF1与圆C相切，  c=4.――――－4分

由得椭圆E的方程为――――――――6分

（2）直线PF1方程为4x-8y+16=0，即x-2y+4=0

由得切点D（0，2）―――――7分

又P(4,4), 线段PD中点为M（2，3）―――――8分

又椭圆右焦点为F2(4,0),  ―――10分

,线段PD垂直平分线的斜率为－2  ―――――――11分

，线段PD的垂直平分线与椭圆有两个交点――――13分

在椭圆上存在两个点Q，使得PDQ是以PD为底的等边三角形―――14分

（或与过点M的椭圆右侧切线斜率比较说明；或用判别式）