Question

已知函数

（1）讨论函数f (x)的极值情况；

（2）设g (x) = ln (x + 1)，当x₁>x₂>0时，试比较f (x₁ – x₂)与g (x₁ – x₂)及g (x₁) –g (x₂)三者的大小；并说明理由．(参考公式: )

Answer

（1）f (x)有极小值f (0) = 0，f (x)有极大值

（2）f (x1 – x2)> g (x1 – x2) > g (x1) –g (x2)

【解析】（1）当x>0时，f (x) = ex – 1在(0，+∞)单调递增，且f (x)>0；

    当x≤0时，．

    ①若m = 0，f ′(x) = x2≥0, f (x) =在(–∞，0]上单调递增，且f (x) =．

    又f (0) = 0，∴f (x)在R上是增函数，无极植；

    ②若m<0，f ′(x) = x(x + 2m) >0，则f (x) =在(–∞，0)单调递增，同①可知f (x)在R上也是增函数，无极值；…………………………………………4分

    ③若m>0，f (x)在(–∞，–2m]上单调递增，在(–2m，0)单调递减，

    又f (x)在(0, +∞)上递增，故f (x)有极小值f (0) = 0，f (x)有极大值． 6分

    （2）当x >0时，先比较ex – 1与ln(x + 1)的大小，

    设h(x) = ex – 1–ln(x + 1)   (x >0)   ∴恒成立

    ∴h(x)在(0，+∞)是增函数，h(x)>h (0) = 0

    ∴ex – 1–ln(x + 1) >0即ex – 1>ln(x + 1)  也就是f (x) > g (x) ，成立．

    故当x1 – x2>0时，f (x1 – x2)> g (x1 – x2)……………………10分

    再比较与g (x1) –g (x2) = ln(x1 + 1) –ln(x2 + 1)的大小．

    =

       ∴g (x1 – x2) > g (x1) –g (x2)

    ∴f (x1 – x2)> g (x1 – x2) > g (x1) –g (x2) ．…………………14分