Question

（14分）已知定义在上的函数满足：

，且对于任意实数，总有成立．

（1）求的值，并证明函数为偶函数；

（2）若数列满足，求证：数列为等比数列；

（3）若对于任意非零实数，总有．设有理数满足，判断和 的大小关系，并证明你的结论．

Answer

（1），函数为偶函数

（2）略

（3）略

【解析】（1）令，，又，．…2分

令，，即．

对任意的实数总成立， 为偶函数． 4分

（2）令，得 ，，．

．…………………………………………………………5分

令，得，………………………………………………………………6分

          ………………………………………………8分

是以为首项，以为公比的等比数列．

（3）结论：．………………………………………………………………9分

证明：设，∵时，，

∴，即．……………………………………………………10分

∴令（），故，总有成立．

∴．………………………………………………………………………………………………11分

∴对于，总有成立．

即

当时，

在上单调递增。………………………………………………………………12分

当…………………………………………………………13分

函数为偶函数，∴．∴．……14分