Question

（本小题满分14分）函数，其中，若存在实数，使得成立，则称为的不动点.

（1）当，时，求的不动点；

（2）若对于任何实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若函数的图像上两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的取值范围.

Answer

（1），2

（2）

（3）

【解析】

（1）当，时，，设为不动点，则，

所以，即的不动点是，2。…………………………………（4分）

（2）由得，，

由已知此方程有相异的实根，则恒成立，即

，化简得………………………………（6分）

对任意的实数恒成立，则，即，解得。…（8分）

（3）设，则，所以。

记中点，由（2）知，因为点在直线上，所以=，化简得

（当时，等号成立）………………………………（12分）

又，所以。…………………………………………………………（14分）