Question

（本小题满分14分）已知数列的前项和为，，，设．

（Ⅰ）证明数列是等比数列；

（Ⅱ）数列满足，设， 若对一切不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）证明见解析

（Ⅱ）

【解析】

证明：（Ⅰ）由于，     ①

    当时，．        ②

①②得   ．

所以  ．…………………………………………………（3分）

又，

所以．

因为，且，

所以．

所以．

故数列是首项为，公比为的等比数列．…………………………………（7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，则．

      ．……………………………………………………………………（10分）

由，得．

即．

所以．

所以．……………………………………（12分）

设，．

可知在为减函数，又，

则当时，有．

所以．

故当时，恒成立．…………………………………（14分）