Question

（本小题满分12分）如图，P是平面ADC外的一点，, ,,.

（1）求证：是直线与 平面所成的角

（2）若,求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析

（2）

【解析】（1）在中，,，，

∴，∴,………3分

又因为，所以平面……5分

∴是直线与 平面所成的角……………6分

（2）解法一：由（1）得平面，则……………………………8分

又∵平面平面=，∴是二面角的平面角………9分

在中，,,

由余弦定理得=

所以，求二面角的余弦值为………12分

解法二：过点P作于点O，由（1）知平面，平面

∴平面PCD⊥平面CDA，则平面.……………7分

∵, ∴  ………………………………8分

则以O为原点建立如图所示的直角坐标系O-XYZ.

∴O（0,0,0）,A(4,2,0),D(0,2,0),P(0,0,)，C（0，-2,0） ……9分

设平面PAD的法向量为.

 ∴，又

，所以……………10分

又因为平面ACD的法向量为……………11分

∴

因为二面角为锐角，则二面角的余弦值是…………12分