Question

（本小题满分14分） 设椭圆：的离心率为，点（，0），（0，），原点到直线的距离为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线：与椭圆相交于、不同两点，经过线段上点的直线与轴相交于点，且有，，试求面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）由得  ……1分

可得直线的方程 …………2分，

点O到直线AB的距离为，即，……………………3分

将代入解得 ，所以椭圆的方程为  …………………………5分

（Ⅱ）设，由方程组得，……6分

      所以有，，且，即 …………7分

            ……9分

     因为，所以，又，所以是线段的中点，

     点的坐标为，即的坐标是，

因此，直线的方程为，得点的坐标为（0，）……10分

     所以   ……11分

    因此……12分

    所以当，即时，取得最大值，最大值为 ……14分