Question

（本小题满分15分）如图，斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，A₁C₁⊥BC₁，AB⊥AC，AB=3，AC=2，侧棱与底面成60°角．

（1）求证：AC⊥面ABC₁；

（2）求证：C₁点在平面ABC上的射影H在直线AB上；

（3）求此三棱柱体积的最小值．

Answer

（1）由棱柱性质，可知A1C1//AC，∵A1C1BC1， 

        ∴ACBC1，又∵ACAB，∴AC平面ABC1

   （2）由（1）知AC平面ABC1，又AC平面ABC，∴平面ABC平面ABC1，

  在平面ABC1内，过C1作C1HAB于H，则C1H平面ABC，故点C1在平面ABC上

    的射影H在直线AB上.

 （3）3.

【解析】

（1）由棱柱性质，可知A1C1//AC，∵A1C1BC1， 

        ∴ACBC1，又∵ACAB，∴AC平面ABC1

   （2）由（1）知AC平面ABC1，又AC平面ABC，∴平面ABC平面ABC1，

  在平面ABC1内，过C1作C1HAB于H，则C1H平面ABC，故点C1在平面ABC上

    的射影H在直线AB上.

 （3）连结HC，由（2）知C1H平面ABC， ∴∠C1CH就是侧棱CC1与底面所成的角，

     ∴∠C1CH=60°，C1H=CH·tan60°=

   V棱柱=

 ∵CAAB，∴CH，所以棱柱体积最小值3.