Question

（本小题满分16分） 一个三角形数表按如下方式构成：第一行依次写上n(n≥4)个数，在上一行的每相邻两数的中间正下方写上这两数之和，得到下一行，依此类推．记数表中第i行的第j个数为f(i,j)．

(1)若数表中第i (1≤i≤n－3)行的数依次成等差数列，求证：第i+1行的数也依次成等差数列；

(2)已知f(1,j)=4j，求f(i,1)关于i的表达式；

(3)在(2)的条件下，若f(i,1)=(i+1)(a_i－1)，b_i= ，试求一个函数g(x)，使得

S_n=b₁g(1)+b₂g(2)+…+b_ng(n)＜，且对于任意的m∈(,)，均存在实数，使得当时，都有S_n >m.

Answer

(1)数表中第行的数依次所组成数列的通项为，则由题意可得

 (其中为第行数所组成的数列的公差) ． 

(2) ．

(3) ．

【解析】(1)数表中第行的数依次所组成数列的通项为，则由题意可得

 (其中为第行数所组成的数列的公差) ． 

(2)，第一行的数依次成等差数列，由(1)知，第2行的数也依次成等差数列，依次类推，可知数表中任一行的数(不少于3个)都依次成等差数列.

设第行的数公差为,则，则

所以

．            

(3)由，可得

所以= 

令,则,所以    

要使得，即，只要=，

，，所以只要,

即只要,所以可以令

则当时，都有．所以适合题设的一个函数为．